Equações Irracionais

São todas as equações que têm a variável sobre o radical

.

1 Passo – Temos que tirar o radical para poder resolver. O contrário da radiciação é a potenciação por isso elevamos a raiz de acordo com seu índice. Assim conseguimos tirar o radical. Veja no exemplo abaixo:

Ex.:   √x+4  -3 = 0

         (√x+4)² = 3²

         X+4 = 9

         X = 9-4

         X = 5

Testando raiz:

√5+4  -3 = 0

√9   -3 = 0

 3 – 3 = 0

0 = 0 (v)

S={5}

Obs.: Algumas das equações irracionais a solução que dá não é realmente o resultado. Por isso testamos a raiz. Substituindo o X pelo valor que deu na solução.

Ex.2: (√x+5)² = (x-1)²

         X+5 = x² – 2x + 1

         -x² + x + 2x + 5 – 1 = 0

         -x² + 3x + 4 = 0

         ∆= 3² – 4.(-1).4

         ∆= 9 + 16 = 25

         X = -3 ± 5 = x^| = -1

                  2          x^|| = 4

Testando as raízes:

X = -1

√-1+5 = -1-1

      √4 = -2

        2 = -2 (F)

X = 4

√4+5 = 4-1

    √9 = 3

      3 = 3 (V)

S= {4}

Obs.: Só pode ser a solução o valor que corresponder com o outro. Como no exemplo acima.2 não é igual a -2 isso é falso. Já 3 é igual a 3 isso é verdadeiro. Então o número que vai para a solução é o 4. Tem um detalhe você não pode errar na hora da solução tem que prestar atenção porque é o valor que der no X.

Equações Biquadradas

Na Equação Biquadrada para resolvê-la temos que antes transformar o X⁴ em X² como no exemplo:

Ex.: x⁴ – 10x² + 9 = 0

        (x²)² – 10x² + 9 = 0

        X² = y

       Y² - 10y + 9 = 0

       Y² = - 10y + 9 = 0

       ∆= (-10)² – 4.1.9

       ∆= 100 – 36 = 64

       Y = - (- 10) ± √64

                     2.1

       Y= 10 ± 8 = x^| = 9

                  2       x^|| = 1

Mas nessa aqui não é o final, pois só descobrimos o valor de Y e o objetivo é descobrir o valor de X. Então voltamos lá atrás no que aprendemos na Equação do 2⁰ Grau incompleta.

X²= y                                

X² = 9                                      x² = 1

X² = ± √9                                x² = ± √1

X = ± 3                                    x = ± 1

S= {-3, -1, 1,3} 

Obs.: Na equação do 1 grau temos no máximo uma solução, na equação do 2⁰ grau temos até duas soluções e na equação biquadrada temos até quatro soluções. Como está no exemplo acima.

Mais alguns exemplos de equação do 2 grau.

Neste exemplo utilizamos o processo da distributiva:

X ( x – 6) + 8= 0

X² – 6x +8 = 0

∆= (-6)² -4.1.8

∆= 36 – 32 = 4

X= - (-6) ± √4

           2.1

X = 6 ±2 = x^| = 4

        2        x^|| = 2

S= {2 , 4}

Neste caso vamos utilizar uma matéria que aprendemos no 8 ano o produto notável:

(x + 1)² = 4x + 4

X² + 2x + 1 = 4x + 4

X² – 2x – 4x + 1 – 4 = 0

X² – 2x – 3 = 0

∆= (-2) – 4.1.(-3)

∆= 4 + 12 = 16

X= ( -2)² ± √16

            2.1

X= - (-2) ± 4 = x^| = 3

        2               x^|| = -1

S= { -1, 3 }

No próximo exemplo para resolvê-lo primeiro fazemos o MMC:

X² – 5x =  3

1       4      2

4x² – 5x – 6 = 0

         4

4x² – 5x – 6 = 0

∆= (-5)² – 4.4.(-6)

∆= 25 + 96 = 121

X= -(-5) ± √121

           2.4

X = 5 ± 11 = x^| = 2

        8           x^|| = -6/8 = -3/4

S= { -3/4 , 2 }

Equações completas do 2^o grau

Ax² + Bx + C=0

Fórmula de Báskara

X= -b±√b² -4ac

           2ª

Para facilitar desmembramos a fórmula.

Desmembrando:

∆= b² -4ac    

Chamamos ∆ de delta.

X= -b± √∆

         2ª

Ex.: x² -5x +6=0

 A=1 , b= -5 , c=6

∆= b²-4ac

∆=(-5)² -4.1.6

∆=25-24

∆=1

X= -(-5) ± √1

        2.1

X=5 ± 1 = x^| = 5 + 1=  6/2=3

        2      x^|| =    2    = 4/2=2

S={2,3}

Obs.: Preste muita atenção nos sinais. Se errar um sinal você pode errar a conta toda.

Dica: Se quiser conferir se a equação está certa. É só você substituir as letras por um dos resultados se der 0 no final a conta estará certa. Faça isso com os dois resultados.      

Equações do 2 grau

Ax² + bx + c = 0    Esta forma é a completa.

Ex.: x² + 4x – 8 = 0

 A=3 ; b= -5 ; c= -8

Ex.: -x² + 2x =0    Esta é o segundo caso onde não tem a parte que significa o C.

A= -1 ; b = 2; c=0

Ex.: 3x² + 9=0     Esta é o outro caso onde não tem a parte que significa o B.

A =3 ; b= 0 ; c= 9

Temos 2 casos as incompletas e a completa.

1^o caso das incompletas: colocamos o X em evidência e depois resolvemos como equação de 1^ograu.

a)Ax² + bx = 0     

  

ex.: 2x² – 8x = 0

       x(2x – 8)=0

       x=0 ou 2x-8=0

                    2x=8

                     X=8/2

                      X=4                   S={0,4}

Quando encontramos uma conta desarrumada devemos arruma-lá e temos que passar o número para o outro lado ai o sinal também muda.Como no exemplo. 

Ex.: 3x² = 14x

       3x²-14x=0

       X(3x-14)=0

       X=0 ou 3x-14=0

                     3x=14

                      X=14/3          S={0,14/3}

Ex.: 3x² – 7x=12x – 5x²

       3x² + 5x²-7x-12x=0

      8x² -19x=0

      X(8x-19)=0

      X=0 ou 8x-19=0

                    8x=19

                    X=19/8            s={0,19/8}

Ex.: 5x +3x²-2x=x²

       -3x²-x²+5x-2x=0

        -4x²+3x=0

        X(-4x+3)=0

        X=0 ou -4x+3=0

                      -4x=-3 . (-1)

                       4x=3

                       X=3/4                S={0,3/4}

Obs: quando o X estiver negativo como no exemplo você tem que multiplicar por -1 q não altera o resultado apenas o sinal.

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