Equação do 1o grau com 1 incógnita
Letra/variável
Na equação é letras para um lado e números para o outro. E sempre quando um número passa pelo sinal de igual o sinal dele muda. Veja nos exemplos.
Ex.: X + 10 = 25
X = 25 – 10
X = 15
S= {15}
Ex.: 7 +X = 11 – 3X
X + 3X=11 – 7
4X = 4
X= 4
4
X=1
S = {1}
Quando tivermos na conta, por exemplo, 2.(X+5)-3.(X-1)=15. Fazemos à distributiva.
Ex.: 2.(X+5)-3.(X-1)=15
2X+10-3X+3=15
2X-3X=-10-3+15
-X = +2. (-1)
X = -2
S= {-2}
Obs.: Quando a letra está negativa é preciso que ela se torne positivo. Então você multiplica por -1 q não alterará o resultado.
Equação do 2o grau
Ax2 + bx + c = 0 Esta forma é a completa.
Ex.: x2 + 4x – 8 = 0
A=3 ; b= -5 ; c= -8
Ex.: -x2 + 2x =0 Esta é o segundo caso onde não tem a parte que significa o C.
A= -1 ; b = 2; c=0
Ex.: 3x2 + 9=0 Esta é o outro caso onde não tem a parte que significa o B.
A =3 ; b= 0 ; c= 9
Temos 2 casos as incompletas e a completa.
1o caso das incompletas: colocamos o X em evidência e depois resolvemos como equação de 1ograu.
Fórmula ax2 + bx = 0
Ex.: 2x2 – 8x = 0
x(2x – 8)=0
x=0 ou 2x-8=0
2x=8
X=8/2
X=4 S={0,4}
Quando encontramos uma conta desarrumada devemos arruma-lá e temos que passar o número para o outro lado ai o sinal também muda.Como no exemplo.
Ex.: 3x2 = 14x
3x2-14x=0
X(3x-14)=0
X=0 ou 3x-14=0
3x=14
X=14/3 S={0,14/3}
Ex.: 3x2 – 7x=12x – 5x2
3x2 + 5x2-7x-12x=0
8x2 -19x=0
X(8x-19)=0
X=0 ou 8x-19=0
8x=19
X=19/8 s={0,19/8}
Ex.: 5x +3x2-2x=x2
-3x2-x2+5x-2x=0
-4x2+3x=0
X(-4x+3)=0
X=0 ou -4x+3=0
-4x=-3 . (-1)
4x=3
X=3/4 S={0,3/4}
Obs: quando o X estiver negativo como no exemplo você tem que multiplicar por -1 q não altera o resultado apenas o sinal.
2 caso das imcompletas: temos que tranformar o x2 apenas em x e para que isso seja possivel transformarmos em raiz quadrada que ai temos como cortá-lo. E fazendo isso o resultado não se torna apenas positivo ou negativo, por isso temos que colocar o sinal de + e de - junto.e no conjunto solução colocamos os dois resultados respeitando o sinal.
2 caso das imcompletas: temos que tranformar o x2 apenas em x e para que isso seja possivel transformarmos em raiz quadrada que ai temos como cortá-lo. E fazendo isso o resultado não se torna apenas positivo ou negativo, por isso temos que colocar o sinal de + e de - junto.e no conjunto solução colocamos os dois resultados respeitando o sinal.
Fórmula ax2 +bx =0
Ex.: x2 -4=0
X2=4
√x2 = ± √4
X= ±2
S={-2,2}
Equações completas do 2o grau
ax2 + Bx + C=0
Fórmula de Báskara
X= -b±√b2 -4ac
2ª
Para facilitar desmembramos a fórmula.
Desmembrando:
∆= b2 -4ac
Chamamos ∆ de delta.
X= -b± √∆
2ª
Ex.: x2 -5x +6=0
A=1 , b= -5 , c=6
∆= b2-4ac
∆=(-5)2 -4.1.6
∆=25-24
∆=1
X= -(-5) ± √1
2.1
X=5 ± 1 = x| = 5 + 1= 6/2=3
2 x|| = 2 = 4/2=2
S={2,3}
Obs.: Preste muita atenção nos sinais. Se errar um sinal você pode errar a conta toda.
Dica: Se quiser conferir se a equação está certa. É só você substituir as letras por um dos resultados se der 0 no final a conta estará certa. Faça isso com os dois resultados.
Neste exemplo utilizamos o processo da distributiva:
X ( x – 6) + 8= 0
X2 – 6x +8 = 0
∆= (-6)2 -4.1.8
∆= 36 – 32 = 4
X= - (-6) ± √4
2.1
X = 6 ±2 = x| = 4
2 x|| = 2
S= {2 , 4}
Neste caso vamos utilizar uma matéria que aprendemos no 8 ano o produto notável:
(x + 1)2 = 4x + 4
X2 + 2x + 1 = 4x + 4
X2 – 2x – 4x + 1 – 4 = 0
X2 – 2x – 3 = 0
∆= (-2) – 4.1.(-3)
∆= 4 + 12 = 16
X= ( -2)2 ± √16
2.1
X= - (-2) ± 4 = x| = 3
2 x|| = -1
S= { -1, 3 }
No próximo exemplo para resolvê-lo primeiro fazemos o MMC:
X2 – 5x = 3
1 4 2
4x2 – 5x – 6 = 0
4
4x2 – 5x – 6 = 0
∆= (-5)2 – 4.4.(-6)
∆= 25 + 96 = 121
X= -(-5) ± √121
2.4
X = 5 ± 11 = x| = 2
8 x|| = -6/8 = -3/4
S= { -3/4 , 2 }
Equações Biquadradas
Na Equação Biquadrada para resolvê-la temos que antes transformar o X4 em X2 como no exemplo:
Ex.: x4 – 10x2 + 9 = 0
(x2)2 – 10x2 + 9 = 0
X2 = y
Y2 - 10y + 9 = 0
Y2 = - 10y + 9 = 0
∆= (-10)2 – 4.1.9
∆= 100 – 36 = 64
Y = - (- 10) ± √64
2.1
Y= 10 ± 8 = x| = 9
2 x|| = 1
Mas nessa aqui não é o final, pois só descobrimos o valor de Y e o objetivo é descobrir o valor de X. Então voltamos lá atrás no que aprendemos na Equação do 20 Grau incompleta.
X2= y
X2 = 9 x2 = 1
X2 = ± √9 x2 = ± √1
X = ± 3 x = ± 1
S= {-3, -1, 1,3}
Obs.: Na equação do 1 grau temos no máximo uma solução, na equação do 20 grau temos até duas soluções e na equação biquadrada temos até quatro soluções. Como está no exemplo acima.
Equações Irracionais
São todas as equações que têm a variável sobre o radical
.
1 Passo – Temos que tirar o radical para poder resolver. O contrário da radiciação é a potenciação por isso elevamos a raiz de acordo com seu índice. Assim conseguimos tirar o radical. Veja no exemplo abaixo:
Ex.: √x+4 -3 = 0
(√x+4)2 = 32
X+4 = 9
X = 9-4
X = 5
Testando raiz:
√5+4 -3 = 0
√9 -3 = 0
3 – 3 = 0
0 = 0 (v)
S={5}
Obs.: Algumas das equações irracionais a solução que dá não é realmente o resultado. Por isso testamos a raiz. Substituindo o X pelo valor que deu na solução.
Ex.2: (√x+5)2 = (x-1)2
X+5 = x2 – 2x + 1
-x2 + x + 2x + 5 – 1 = 0
-x2 + 3x + 4 = 0
∆= 32 – 4.(-1).4
∆= 9 + 16 = 25
X = -3 ± 5 = x| = -1
2 x|| = 4
Testando as raízes:
X = -1
√-1+5 = -1-1
√4 = -2
2 = -2 (F)
X = 4
√4+5 = 4-1
√9 = 3
3 = 3 (V)
S= {4}
Obs.: Só pode ser a solução o valor que corresponder com o outro. Como no exemplo acima.2 não é igual a -2 isso é falso. Já 3 é igual a 3 isso é verdadeiro. Então o número que vai para a solução é o 4. Tem um detalhe você não pode errar na hora da solução tem que prestar atenção porque é o valor que der no X.